Problema: La Huaca Rajada

En la Huaca Rajada de Sipán, se encontró un tesoro con 100 piezas de cerámica de diferentes tamaños. Se ha descubierto que la relación entre el diámetro (en centímetros) de cada pieza y su valor (en soles) se ajusta a la siguiente ecuación cuadrática:

y = -0.5x² + 10x + 50

Donde 'x' es el diámetro de la pieza en centímetros e 'y' es su valor en soles.

1. Grafica la ecuación cuadrática para representar la relación entre el diámetro de las piezas y su valor.

2. ¿Cuál es el diámetro de la pieza que tiene el mayor valor?

3. Si el arqueólogo encuentra una pieza con un diámetro de 15 cm, ¿cuál sería su valor aproximado?

4. ¿Qué tipo de relación existe entre el diámetro de las piezas y su valor? ¿Aumenta o disminuye el valor a medida que aumenta el diámetro?

La solución al problema:

1. Graficar la ecuación cuadrática:

Para graficar la ecuación y = -0.5x² + 10x + 50, podemos usar los siguientes pasos:

- Encontrar el vértice: El vértice de una parábola se encuentra en el punto x = -b/2a. En este caso, a = -0.5 y b = 10, por lo que el vértice se encuentra en x = -10 / (2 * -0.5) = 10.

- Calcular el valor de y en el vértice: Sustituyendo x = 10 en la ecuación, encontramos que y = -0.5 * 10² + 10 * 10 + 50 = 150.

- Encontrar otros puntos: Podemos encontrar otros puntos de la parábola sustituyendo diferentes valores de x en la ecuación y calculando el valor correspondiente de y. Por ejemplo, cuando x = 0, y = 50. Cuando x = 20, y = 50.

La gráfica resultante sería una parábola con la concavidad hacia abajo, con el vértice en el punto (10, 150).

2. Diámetro de la pieza de mayor valor:

El vértice de la parábola representa el punto máximo de la función, por lo que la pieza con mayor valor tiene un diámetro de 10 cm.

3. Valor aproximado de una pieza con 15 cm de diámetro:

Sustituyendo x = 15 en la ecuación, encontramos que y = -0.5 * 15² + 10 * 15 + 50 = 125. Por lo tanto, el valor aproximado de una pieza con 15 cm de diámetro sería 125 soles.

4. Relación entre diámetro y valor:

La ecuación cuadrática representa una relación cuadrática, lo que significa que el valor de la pieza aumenta hasta un punto máximo (el vértice) y luego comienza a disminuir. En otras palabras, a medida que el diámetro aumenta, el valor de la pieza aumenta hasta un punto máximo y luego empieza a disminuir.

Gráfica de ecuaciones con dos variables

Soluciones y Líneas

Sabemos que las soluciones a ecuaciones lineales en dos variables se pueden expresar como pares ordenados. De ahí que las soluciones se puedan representar por punto en el plano. También sabemos que la frase "graficar la ecuación" significa ubicar la solución a la ecuación dada en el plano. 

Desarrollo del tema

Una ecuación lineal es aquella cuya variable o incógnitas, tiene como máximo exponente 1, y se les llama lineales por la razón de que al graficar o representarlas en un plano cartesiano generan líneas rectas. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen como conjunto solución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en el que hay dos o más variables. En forma general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se representa de la siguiente manera:

donde a11, a12, a21, a22 son los coeficientes de las variables, mientras que x1, x2 son las variables y b1, b2 son las constantes del sistema.

La solución de un sistema de ecuaciones la puedes obtener por algunos de los siguientes métodos:

Método gráfico

Este método tiene limitaciones cuando la solución no es entera o cuando la escala de los ejes son valores muy pequeños o grandes, mostrando la solución del sistema en forma aproximada.

La ecuación lineal con dos variables ax + by = c tiene por lugar geométrico (gráfica) una línea recta. Para trazar la gráfica de la ecuación ax+by=c procede de la siguiente manera:

• Asigna tres valores a la variable «x».
• Sustituye estos valores en la ecuación y calcula los valores de la variable «y».
• Forma las parejas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) con los valores que asignaste a «x» y los valores que obtuviste de «y».
• Gráfica estas parejas en el sistema coordenado rectangular, si no hay error en los cálculos, los puntos asociados con estas parejas son colineales (están sobre una recta).

Al concluir el trazo de las gráficas de las ecuaciones se presenta uno de los siguientes casos:

• Las rectas se intersectan en un punto, este punto es la solución del sistema y el sistema tiene solución única.
• Las rectas no se intersectan, la gráfica son dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución o el conjunto vacío Ø es la solución.
• Las rectas coinciden en todos sus puntos, el sistema tiene solución múltiple o solución infinita, de modo que todos los puntos de las rectas son solución.